Binomial-Optionspreismodell Was ist das Binomial-Optionspreismodell Das Binomial-Optionspreismodell ist eine Bewertungsmethode, die 1979 entwickelt wurde. Das Binomial-Optionspreismodell verwendet ein iteratives Verfahren, das die Angabe von Knoten oder Zeitpunkten während der Zeit ermöglicht Zeitraum zwischen dem Bewertungstag und dem Optionsverfalldatum. Das Modell reduziert die Möglichkeiten von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit der Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel eines Binomialbaums könnte ungefähr so aussehen: BREAKING DOWN Binomiales Optionspreismodell Das Binomial-Optionspreismodell setzt einen vollkommen effizienten Markt voraus. Unter dieser Annahme ist es in der Lage, eine mathematische Bewertung einer Option an jedem Punkt im angegebenen Zeitrahmen vorzusehen. Das binomische Modell nimmt einen risikoneutralen Ansatz zur Bewertung an und geht davon aus, dass die zugrunde liegenden Sicherheitspreise nur mit der Zeit ansteigen oder sinken können, bis die Option wertlos abläuft. Binomiales Preisbeispiel Ein vereinfachtes Beispiel für einen binomischen Baum hat nur einen Zeitschritt. Angenommen, es gibt eine Aktie, die bei 100 pro Aktie festgesetzt wird. In einem Monat wird der Kurs dieser Aktie um 10 steigen oder um 10 nach unten gehen, wodurch folgende Situation entsteht: Börsenkurs 100 Börsenkurs (nach oben) 110 Börsenkurs (Down-Zustand) 90 Als nächstes wird angenommen, dass eine Call-Option verfügbar ist Auf diesem Bestand, der in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100 hat. Im Aufwärtszustand ist diese Aufrufoption 10 wert, und im Down-Zustand ist sie 0 wert. Das Binomialmodell kann berechnen, was der Preis des Aufrufs ist Option sollte heute sein. Zur Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass ein Anleger die Hälfte der Aktie kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die Gesamtinvestition ist heute der Preis für eine halbe Aktie abzüglich des Optionspreises und die möglichen Auszahlungen am Ende des Monats: Kosten heute 50 - Optionspreis Portfoliowert 55 - max (110 - 100, 0) 45 Portfolio-Wert (Down-Zustand) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Die Portfolio-Auszahlung ist gleich, egal wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses, unter der Annahme keine Arbitrage-Chancen, sollte ein Investor verdienen die risikofreie Rate im Laufe des Monats. Die Kosten müssen gleich der Auszahlung sein, die mit dem risikolosen Zinssatz für einen Monat diskontiert wird. Die zu lösende Gleichung lautet also: Optionspreis 50 - 45 xe (risikofreie Rate x T), wobei e die mathematische Konstante ist 2.7183 Unter der Annahme, dass der risikofreie Satz 3 pro Jahr beträgt und T gleich 0,0833 (eins dividiert durch 12 ), Dann ist der Preis der Call-Option heute 5.11. Das Binomial-Optionspreismodell bietet aufgrund seiner einfachen und iterativen Struktur bestimmte einzigartige Vorteile. Da es zum Beispiel einen Strom von Bewertungen für ein Derivat für jeden Knoten in einer Zeitspanne bereitstellt, ist es für die Bewertung von Derivaten wie etwa amerikanischen Optionen nützlich. Es ist auch viel einfacher als andere Preispolitik Modelle wie das Black-Scholes-Modell. Binomial Option Pricing Tutorial und Spreadsheets Dieses Tutorial stellt Binomial-Option Preisgestaltung, und bietet eine Excel-Tabelle, um Ihnen ein besseres Verständnis der Prinzipien. Darüber hinaus wird eine Tabellenkalkulation, die Vanilla - und Exotic-Optionen mit einem binomischen Baum vergibt, bereitgestellt. Scrollen Sie bis zum Ende dieses Artikels, um die Tabellen herunterzuladen, aber lesen Sie das Tutorial, wenn Sie die Prinzipien hinter Binomial Option Preisgestaltung lehnen möchten. Die Option der Binomialoptionen basiert auf einer Annahme ohne Arbitrage und ist eine mathematisch einfache, aber überraschend leistungsfähige Methode für Preisoptionen. Anstatt sich auf die Lösung für stochastische Differentialgleichungen (die oft komplex zu implementieren ist), ist Binomial Option Preisgestaltung relativ einfach zu implementieren in Excel und ist leicht verständlich. No-Arbitrage bedeutet, dass die Märkte effizient sind und die Anlagen die risikofreie Rendite erzielen. Binomialbäume werden häufig verwendet, um amerikanische Put-Optionen preiszugeben. Für die (im Gegensatz zu europäischen Put-Optionen) keine nahezu analytische Lösung vorliegt. Preisbaum für Basiswerte Betrachten Sie eine Aktie (mit einem Anfangspreis von S 0), die einer zufälligen Wanderung unterzogen wird. Über einen Zeitschritt t hat die Aktie eine Wahrscheinlichkeit p des Anstiegs um einen Faktor u und eine Wahrscheinlichkeit 1-p des Preisverfalls um einen Faktor d. Dies wird durch das folgende Diagramm veranschaulicht. Cox, Ross und Rubenstein Modell Cox, Ross und Rubenstein (CRR) vorgeschlagen eine Methode zur Berechnung von p, u und d. Andere Methoden existieren (wie die Jarrow-Rudd oder Tian Modelle), aber die CRR-Ansatz ist die beliebteste. Über eine kleine Zeitspanne wirkt das Binomialmodell ähnlich wie ein Vermögenswert, der in einer risikoneutralen Welt existiert. Daraus ergibt sich die folgende Gleichung, die impliziert, dass die effektive Rückkehr des Binomialmodells (auf der rechten Seite) gleich der risikofreien Rate ist. Zudem ist die Varianz eines risikoneutralen Vermögenswertes und eines Vermögenswertes risikoneutral Welt-Spiel. Dies ergibt die folgende Gleichung. Das CRR-Modell schlägt die folgende Beziehung zwischen den Aufwärts - und Abwärtsfaktoren vor. Eine Neuanordnung dieser Gleichungen ergibt die folgenden Gleichungen für p, u und d. Die Werte von p, u und d, die durch das CRR-Modell gegeben sind, bedeuten, dass der zugrundeliegende Anfangswertpreis für ein mehrstufiges Binomialmodell symmetrisch ist. Zweistufiges Binomialmodell Dies ist ein zweistufiges Binomialgitter. In jedem Stadium bewegt sich der Aktienkurs um einen Faktor u um einen Faktor d nach unten. Man beachte, daß es im zweiten Schritt zwei mögliche Preise gibt, u d S 0 und d u S 0. Wenn diese gleich sind, soll das Gitter rekombiniert werden. Wenn sie nicht gleich sind, wird das Gitter als nicht rekombinierend bezeichnet. Das CRR-Modell gewährleistet ein rekombinierendes Gitter die Annahme, dass u 1d bedeutet, dass u d S 0 d u S 0 S 0 ist. Und daß das Gitter symmetrisch ist. Mehrstufiges Binomialmodell Das mehrstufige Binomialmodell ist eine einfache Erweiterung der Prinzipien des zweistufigen Binomialmodells. Wir schreiten einfach in der Zeit voran, erhöhen oder senken den Aktienkurs um einen Faktor u oder d jedes Mal. Jeder Punkt im Gitter wird Knoten genannt und definiert einen Asset-Preis zu jedem Zeitpunkt. In Wirklichkeit sind viele weitere Stufen in der Regel berechnet als die drei oben dargestellt, oft Tausende. Auszahlungen für die Optionspreise Wir betrachten die folgenden Auszahlungsfunktionen. V N ist der Optionspreis am Verfallknoten N, X ist der Basispreis oder der Ausübungspreis, S N ist der Aktienkurs am Verfallknoten N. Wir müssen nun die Auszahlungen bis heute reduzieren. Dabei geht es darum, durch das Gitter zurückzutreten und den Optionspreis an jedem Punkt zu berechnen. Dies geschieht mit einer Gleichung, die mit der Art der Option unter Berücksichtigung variiert. Beispielsweise werden europäische und amerikanische Optionen mit den nachstehenden Gleichungen bewertet. N ist jeder Knoten vor Ablauf. Binomial Optionspreis in Excel Diese Excel-Tabelle implementiert ein Binomial-Pricing-Gitter, um den Preis einer Option zu berechnen. Geben Sie einfach einige Parameter wie unten angegeben ein. Excel erzeugt dann das Binomialgitter für Sie. Die Kalkulationstabelle ist kommentiert, um Ihr Verständnis zu verbessern. Bitte beachten Sie, dass der Aktienkurs rechtzeitig berechnet wird. Der Optionspreis wird jedoch von der Laufzeit bis zum heutigen Tag rückwirkend berechnet (dies wird als Rückwärtsinduktion bezeichnet). Die Kalkulationstabelle vergleicht außerdem den Put - und Call-Preis, der durch das Binomial-Optionspreisgitter gegeben wird, mit demjenigen, der durch die analytische Lösung der Black-Scholes-Gleichung für viele Zeitschritte im Gitter gegeben wird, die beiden Preise konvergieren. Wenn Sie irgendwelche Fragen oder Anmerkungen zu diesem Binomial-Optionspreis-Tutorial oder der Kalkulationstabelle haben, dann lassen Sie es mich bitte wissen. Pricing Vanilla und Exotic Optionen mit Binomialbaum in Excel Diese Excel-Tabelle kostet mehrere Arten von Optionen (European, American, Shout, Chooser, Compound) mit einem Binomialbaum. Die Kalkulationstabelle berechnet auch die Griechen (Delta, Gamma und Theta). Die Anzahl der Zeitschritte ist leicht variierbar 8211 Die Konvergenz ist schnell. Die Algorithmen werden in passwortgeschützten VBA geschrieben. Wenn du die VBA sehen und bearbeiten möchtest, kaufe die ungeschützte Kalkulationstabelle bei investexcelbuy-spreadsheets. 22 Gedanken auf ldquo Binomial Option Pricing Tutorial und Spreadsheets rdquo Hallo Ich frage mich, ob Sie alle Tabellen, die den Preis einer Option mit dem Binomial Option Preismodell (CRR) (einschließlich Dividendenertrag) zu berechnen .. und dann einen Vergleich gegen die schwarze Scholes Preis (für die gleichen Variablen) könnte in einem Diagramm gezeigt werden (zeigt die Konvergenz) I8217ve hacked zusammen dieses Arbeitsblatt. Es vergleicht die Preise der europäischen Optionen, die durch analytische Gleichungen und einen binomischen Baum gegeben werden. Sie können die Anzahl der Binomialschritte ändern, um die Konvergenz mit der analytischen Lösung zu vergleichen. Hi, das Modell funktioniert einwandfrei, wenn der Ausübungspreis in der Nähe des Aktienkurses liegt und die Laufzeit in der Nähe der Anzahl der Schritte liegt. I8217m Anfänger in Binomial-Modelle und haben durch die Änderung der Ausübung Preis andor Zahl der Schritte im Wesentlichen experimentiert. Wenn ich einen weit aus Geld Strike Preis habe. Der Wert aus dem Binomial-Modell nähert sich Null, während der BampS-Wert 8220resistant8221 ist. Wenn ich die Anzahl der Schritte auf 1 verringere, erhöht sich der Wert aus den Binomialmodellen dramatisch, während der BampS-Wert gleich bleibt. Gibt es somehting, dass Sie über Beschränkungen bezüglich des Binomialmodells sagen können. Wann und nicht zu verwenden. John Slice sagt: Haben Sie alle Tabellen eines Binomialbaumes mit einer Aktie, die vierteljährliche Dividenden zahlt, kann ich scheinen, herauszufinden, wie das zu behandeln. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um dies zu gehen. Der beste Weg ist die Verwendung eines diskreten Dividendenmodells und geben Sie das tatsächliche Datum der Dividendenzahlung. Ich habe noch kein passendes Modell in investexcel gesehen. Anstelle von diesem, einfach bestimmen den Gesamt-Dollar-Wert aller vierteljährlichen Dividenden zwischen Time0 und Ablauf bezahlt. Nehmen Sie diese Zahl, dividieren durch den aktuellen Aktienkurs, um Dividendenrendite zu erhalten. Verwenden Sie diese Ausbeute in den Modellen von Samir. Die größte Ungenauigkeit wird von einem falschen Preis der amerikanischen Prämie kommen, da eine große Dividende bezahlt morgen gegen die gleiche Dividende bezahlt einen Tag vor dem Ablauf wird haben unterschiedliche Auswirkungen auf die amerikanische Prämie. Ich habe es jetzt herausgefunden. Ich musste nur noch mehr Schritte zum Modell hinzufügen. Es funktioniert gut jetzt. Vielen Dank für ein erklärendes und relativ einfaches Modell. Hallo, Können Sie mir Punkt zu Informationen über die Berechnung der griechischen dieser Optionen mit dem binomialen Modell Ich weiß, wie es für Black-Scholes, aber nicht für amerikanische Optionen zu tun. Vielen Dank für jede Hilfe können Sie mir, und große Arbeit auf Ihrer Tabelle. Zuerst möchte ich mich bei Ihnen dafür bedanken, vor allem die Excel-Tabelle, die den Binomialpreisbaum mit Guides illustriert. Sehr hilfreich. Zweitens habe ich mit dieser Datei herum gespielt, und ich glaube, ich entdeckte eine kleine Büste in der Kalkulationstabelle. Beim Versuch, herauszufinden, wie die Put-Option-Preiskalkulation Gleichung in Zelle E9 funktioniert, bemerkte ich, dass die Formel auf B12 (nSteps) verweist, aber ich bin ziemlich sicher, dass es stattdessen auf B11 (TimeToMaturity) verweisen soll. Es scheint mir, dass die Logik dieser Formel ist, dass der Preis der Put-Option durch den Preis von sagen, den Kauf der Aufruf und Verkauf der zugrunde liegenden Aktien (die Schaffung eines synthetischen setzen, Dividenden beiseite für diesen Zweck), und dann anzupassen Diesen Wert durch Abzinsung der zukünftigen Streik der Put von r für t Perioden, die ich vage scheinen zu erinnern, ist die Anpassung für die unterstellte Rendite auf überschüssige Cash aus dem Aktienverkauf. Auf jeden Fall sollte nSteps grundsätzlich nicht ins Spiel kommen. D, sah ich das gleiche über Put-Preise auch. Ich denke, es war versucht, put-call parity1, aber wie Sie beachten, es8217s mit der falschen Variable. Formel sollte sein: E8StrikePriceEXP (-RiskFreeRateTimeToMaturity) - SpotPrice Auch denke ich, gibt es einen Fehler in der 8220up Wahrscheinlichkeit8221 Zelle als gut. Sie müssen die Dividendenrendite vom Zinssatz subtrahieren, so sollte die Formel: (EXP ((B9-B13) B16) - B18) (B17-B18) Vielen Dank für die Tabelle Ich genoss Ihre Binär-Gitter-Excel-Vorlage. Ich verwende das Modell, um die Goldpreise für ein 20-jähriges Minenleben zu prognostizieren. Wie kann ich nur die Preisprognose ableiten, anstatt Diskontierung so oft getan. Ich freue mich auf Ihre Hilfe und ich werde Sie in meiner Dissertation Hey Samir anerkennen, kann ich nur tun, 5 Schritte mit dem Modell Wäre es möglich, weitere Schritte hinzufügen Danke und beste Grüße Peet PS Ist die Formel bereits angepasst, wie von D vorgeschlagen und Ben West Wie die Free Spreadsheets Master Knowledge Base Aktuelle Beiträge Das Binomial-Modell für die Preisgestaltung Das Binomialmodell für die Optionspreise basiert auf einem Spezialfall, bei dem der Kurs einer Aktie über einen gewissen Zeitraum entweder um u Prozent oder um d Prozent steigen kann . Wenn S der aktuelle Preis ist, dann wird der nächste Preis entweder S u S (1u) oder S d S (1d) sein. Wenn eine Call-Option auf dem Aktienkurs zu einem Ausübungspreis von E gehalten wird, dann ist die Auszahlung am Aufruf entweder C u max (S u - E, 0) oder C d max (S d - E, 0). Das risikofreie Interesse sei r und sei dltrltu. Nun betrachten Sie ein Portfoli aus einem schriftlichen Aufruf und h Aktien der Aktie gebildet. Das heißt, der Eigentümer des Portfolios besitzt h Aktien der Aktie und verkauft dann einen Aufruf mit einem Ablaufdatum einer Periode. Wenn der Aktienkurs steigt, hat das Portfolio einen Wert von V u hS (1u) - C u und geht es nach V d hS (1d) - C d. Angenommen, h ist so gewählt, dass das Portfolio den gleichen Preis hat, ob der Aktienkurs steigt oder sinkt. Der Wert von h, der diese Bedingung erfüllt, wird durch hS (1u) - C u hS (1d) - C d oder h (C u - C d) (S u - S d) (max (S u - E, 0 ) - max (S d - E, 0)) (S u - S d). Somit kann, wenn nur S, E, u und d gegeben sind, das Verhältnis h bestimmt werden. Insbesondere hängt es nicht von der Wahrscheinlichkeit eines Anstiegs oder Falles ab. Der Wert von h, der den Wert des Portfolios unabhängig vom Aktienkurs macht, wird als Sicherungsverhältnis bezeichnet. Ein Portfolio, das vollständig abgesichert ist, ist ein risikofreies Portfolio, so dass sein Wert mit dem risikolosen Zinssatz wachsen sollte. Der aktuelle Wert des abgesicherten Portfolios ist der Wert der Bestände abzüglich der Verbindlichkeit, die mit dem schriftlichen Aufruf verbunden ist. Wenn C den Wert des Besitzes des Anrufs repräsentiert, dann ist die Haftung mit dem Schreiben des Aufrufs - C verbunden. Daher ist der Wert des Portfolios (hS-C). Nach einer Periode des Anwachsens an der risikofreien Rate wird sein Wert (1r) (hS-C) sein, der der gleiche ist wie (hS (1u) - Cu) (hS (1d) - C d). Das Lösen von C ergibt C hS - (hS (1u) - Cu) (1r) hS - hS (1u) (1r) Cu (1r) hS1 - (1u) (1r) Cu (1r) (hS (ru ) Cu (1r) - hS (ur) Cu (1r) h (C u - C d) (S (1u) - S (1d)) (C u - C d) S (ud) C (C) U ud ud ud ud)))))))))))))))))))))))))))))))))))))). (Ud) (ud) (1r) Wenn (rd) (ud) als p bezeichnet wird, dann gilt: 1-p (ud) - (rd) (ud) ) Somit ist der Wert der Call-Option der diskontierte Wert eines gewichteten Durchschnitts des Ablaufdatumswerts des Aufrufs. Beispiel: Es sei u0,1, d-0,1, r 0,05, S 100 und E 95. Dann sind S u 110 und S d 90 und folglich C u 15 und C d 0. h (15-0) (110-90) 0,75 p (0,05 - (-0,1)) (0,1 - (-0,1)) 0,150,20 34 C (34) 15 (14) 0 (1,05) 11,51,05 10,71. Lassen Sie uns dies durch die Berechnung der Wert des Portfolios. 0,75 Anteil der 100 Vorräte - 10,71 75,00 - 10,71 64,29. Wenn der Kurs der Aktie auf 110 steigt, dann ist das Portfolio wert (.75) (110) - 15 82,50 - 15,00 67,50. Wenn der Kurs der Aktie auf 90 sinkt, ist das Portfolio wert (.75) (90) 67,50. Das Einperiodenergebnis kann verwendet werden, um den Wert eines Anrufs mit zwei Perioden zu bestimmen, die vor dem Ablauf verlassen wurden. Die beiden Periodenergebnisse ergeben dann das Periodenergebnis und so weiter. Die Ergebnisse sehen genauso aus, als wenn man den Erwartungswert des Auslaufs des Verfallsdatums berechnet, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstiegs in einer Periode p beträgt und die Wahrscheinlichkeit des Abwärtsbewegens (1-p) liegt. STARTSEITE von applet-magic STARTSEITE VON Thayer WatkinsOption Preise mit dem Binomial-Modell Binomial-Modelle (und es gibt mehrere) sind wohl die einfachsten Techniken für Option Preisgestaltung verwendet. Die Mathematik hinter den Modellen ist relativ einfach zu verstehen und (zumindest in ihrer Grundform) nicht schwer umsetzbar. Dieses Tutorial diskutiert die allgemeinen mathematischen Konzepte hinter dem Binomialmodell mit besonderem Augenmerk auf die ursprüngliche Binomialmodellformulierung von Cox, Ross und Rubinstein (CRR). Ein Beispiel für die Implementierung des CRR-Modells in MATLAB finden Sie in diesem Tutorial. Allerdings gibt es viele andere Versionen des Binomialmodells. Einige von ihnen, einschließlich einer Diskussion über ihre zugrunde liegende Mathematik und ein Beispiel ihrer Umsetzung in MATLAB, werden in einer begleitenden Option Preisgestaltung Tutorial präsentiert. Jeder der Ansätze hat seine Vor-und Nachteile für die Preisgestaltung der verschiedenen Arten von Optionen. Jedoch beinhalten sie alle einen ähnlichen dreistufigen Prozess. Berechnen Sie die potenziellen künftigen Preise der zugrunde liegenden Vermögenswerte bei Verfall (und möglicherweise auch zu Zwischenpunkten). Berechnen Sie die Auszahlung der Option bei Verfall für jeden der potenziellen Basiswerte. Discount die Auszahlungen zurück zu heute, um die Option Preis heute bestimmen. Jeder dieser Schritte wird in den folgenden Abschnitten diskutiert. Berechnen eines Baums für den zugrunde liegenden Vermögenspreis Der erste Schritt bei den Preisoptionen unter Verwendung eines binomischen Modells besteht darin, ein Gitter oder Baum von möglichen zukünftigen Preisen der zugrunde liegenden Vermögenswerte zu schaffen. Dieser Abschnitt beschreibt, wie das erreicht wird. Das einstufige Binomialmodell Ein einstufiges binomisches Modell ist in Fig. 1 gezeigt. Die verwendete Schreibweise ist S & sub0 ;. Der Aktienkurs heute. P. Die Wahrscheinlichkeit eines Preisanstiegs. U Der Faktor, um den der Preis steigt (vorausgesetzt, er steigt). D. Der Faktor, um den der Preis fällt (vorausgesetzt, es sinkt). Beachten Sie, dass das Modell davon ausgeht, dass der Kurs des der Option zugrunde liegenden Eigenkapitals einem zufälligen Weg folgt. Das Wesen des Modells besteht darin, dass der Preis eines Vermögenswertes heute S 0 ist und dass es über ein kleines Zeitintervall 916t sich auf einen von nur zwei möglichen zukünftigen Werten S 0 u oder S 0 d bewegen kann. Der zugrundeliegende Kurs wird angenommen, dass er einem zufälligen Weg folgt, und eine Wahrscheinlichkeit p ist der Wahrscheinlichkeit zugeordnet, dass der Preis steigt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Sturzes des Aktienkurses 1-p. Alle Werte für die drei Parameter, p. U und d verwendet werden. (Vorbehaltlich 0 lt p lt 1 und S 0 d gt 0.) Einige Werte sind jedoch optimaler als andere. Also die Frage ist, wie können die besten Werte berechnet werden Es gibt keine einfache Antwort auf diese Frage. Tatsächlich gibt es viele verschiedene Ansätze zur Berechnung von Werten für p. U und d. Dazu gehören die von Cox-Ross-Rubinstein entwickelten Methoden. Dies ist die Methode, die die meisten Menschen denken, wenn die Diskussion über die binomische Modell, und die, die in diesem Tutorial diskutiert. Jarrow-Rudd. Dies wird allgemein als das Modell mit gleicher Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Tian Dies wird allgemein als das Momentanpassungsmodell bezeichnet. Jarrow-Rudd Risiko Neutral. Dies ist eine Modifikation des ursprünglichen Judd-Yarrow-Modells, das eher eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit als eine gleiche Wahrscheinlichkeit einschließt. Cox-Ross-Rubinstein mit Drift. Dies ist eine Modifikation des ursprünglichen Cox-Ross-Runinstein-Modells, das einen Driftterm enthält, der die Symmetrie des resultierenden Preisgitters beeinflusst. Leisen-Reimer. Dies nutzt einen völlig anderen Ansatz, um alle anderen Methoden, die sich auf die Annäherung an die Normalverteilung im Black-Scholes-Modell verwendet. Von den obigen Ansätzen ist die Cox-Ross-Rubinstein-Methode vielleicht die bekannteste, mit der Jarrow-Rudd-Methode dicht dahinter. Die verbleibenden Methoden wurden entwickelt, um wahrgenommene (und vielleicht echte) Mängel in diesen beiden Methoden zu lösen. Eine risikoneutrale Welt Drei Gleichungen sind erforderlich, um eindeutig Werte für die drei Parameter des binomialen Modells festlegen zu können. Zwei dieser Gleichungen ergeben sich aus der Erwartung, dass sich das Binomialmodell über einen kleinen Zeitraum genauso verhalten sollte wie ein Vermögenswert in einer risikoneutralen Welt. Dies führt zu der Gleichung 1: Matching Return, die dafür sorgt, dass über die kleine Zeitspanne 916t die erwartete Rückkehr des Binomialmodells mit der erwarteten Rendite in einer risikofreien Welt übereinstimmt und Gleichung 2: Matching-Varianz, die dies gewährleistet Die Varianz übereinstimmt. Cox-Ross-Rubinstein Cox, Ross und Rubinstein schlugen die dritte Gleichung vor Gleichung 3: Dritte Gleichung für das Cox-Ross-Rubinstein-Binomialmodell Um die oben genannten drei Gleichungen für die Parameter p, U und d führt zu Gleichung 4: Gleichungen für das Cox-Ross-Rubinstein-Binomialmodell Die einzigartige Lösung für die Parameter p. U und d in Gleichung 4 stellt sicher, dass das Binomialmodell über einen kurzen Zeitraum mit dem Mittelwert und der Varianz eines Vermögenswertes in einer risikofreien Welt übereinstimmt und wie in Kürze zu sehen ist, dass für ein Mehrschrittmodell der Preis von Ist der Basiswert symmetrisch um den Startpreis S 0. Das mehrstufige Modell Vor dem Betrachten des allgemeineren Falles eines vielstufigen Modells sollte das in Abbildung 2 gezeigte zweistufige Modell betrachtet werden. Abbildung 2: Ein zweistufiges Binomialmodell Wie bei dem einstufigen Modell von Abbildung 1 Erste Zeitspanne im Zwei-Schritt-Modell kann sich der Vermögenspreis entweder bis nach S u oder nach S d bewegen. Im Laufe der zweiten Periode, wenn der Preis nach S u in der ersten Periode, dann kann der Preis bewegen, um entweder S uu oder S ud bewegen. Wenn jedoch der Kurs in der ersten Periode nach S d abgesunken ist, kann er sich in der zweiten Periode entweder auf S du oder Sdd bewegen. Wenn S ud S du dann der Preisbaum ist rekombinierend gesagt wird. Wenn sie jedoch nicht gleich sind, wird der Preisbaum als nicht rekombinierend bezeichnet (oder buschig). Da es typischerweise zehn, wenn nicht hundert oder tausend Zeitschritte gibt, die bei der Preisgestaltung einer Option getroffen werden, ist die Datenmenge (und daher der Computerspeicher und die Berechnungszeit), die erforderlich ist, um einen nicht buschigen Baum zu berechnen, typischerweise prohibitiv und daher werden sie selten verwendet. Die dritte Gleichung des CRR-Modells stellt sicher, dass es einen rekombinierenden Baum erzeugt, der um den ursprünglichen Aktienkurs S 0 zentriert ist. Abbildung 3: Ein mehrstufiges Binomialmodell Im Allgemeinen wird die Zeitspanne zwischen heute und dem Ablauf der Option in viele kleine Zeitabschnitte zerlegt. Dann wird ein Baum mit möglichen zukünftigen Vermögenspreisen berechnet. Jeder Punkt im Baum wird als Knoten bezeichnet. Der Baum enthält potenzielle zukünftige Vermögenspreise für jeden Zeitraum von heute bis zum Verfall. Berechnen der Auszahlungen bei Verfall Der zweite Schritt bei den Preisoptionen unter Verwendung eines binomischen Modells besteht darin, die Auszahlungen an jedem Knoten zu berechnen, die der Zeit des Verfalls entsprechen. Dies entspricht allen Knoten am rechten Rand des Preisbaums. Im Allgemeinen kann die Auszahlung von vielen verschiedenen Faktoren abhängen. Als Beispiel verwenden die Auszahlungen von einfachen Put - und Call-Optionen die Standardformeln n einen Knoten vor dem Verfall. V n ist der Optionswert. X ist der Streik. S n ist der Preis des Basiswerts. P die Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung ist. V u ist der Optionswert vom Knotenknoten an n1. V u ist der Optionswert vom unteren Knoten bei n1. R ist der risikolose Zinssatz. 916t ist die Schrittweite zwischen Zeitscheiben des Modells. Es ist kritisch zu bemerken, daß bei Rückwärtsinduktion der Zähler n bei N beginnt (d. h. Verfall) und bis auf 0 (d. h. heute) abnimmt. Der Optionswert Nach dem oben beschriebenen dreistufigen Verfahren kann der Wert der Option V 0 berechnet werden. Eine MATLAB-Implementierung des hier vorgestellten CRR-Algorithmus finden Sie in diesem Tutorial. Ein Companion-Option Preis Tutorial diskutiert die Mathematik hinter mehreren alternativen Binomialmodellen.
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